论文信息 ¶

Busemeyer, J. R., & Wang, Z. (2018). Hilbert space multidimensional theory. Psychological review, 125(4), 572–591. https://doi.org/10.1037/rev0000106

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关键词 ¶

Hilbert 空间多维理论

摘要 ¶

希尔伯特空间多维（HSM）理论是一种关于测量情境效应的通用理论。测量情境指的是个体在特定场合下评估的一组心理变量。不同的情境通过评估不同但可能重叠的变量子集而形成。当跨情境的判断无法从所有观察变量值的一个单一联合概率分布中得出时，就会出现情境效应。HSM理论通过使用量子概率理论来建模这些情境效应，该理论将所有变量表示在一个低维向量空间中。HSM模型产生的参数估计为跨情境的复杂判断集合提供了简单且信息丰富的解释。我们报告了HSM模型与贝叶斯网络模型在新开展的大型实验中的拟合比较，证明了该新模型的可行性。我们得出结论，该理论广泛适用于社会科学和行为科学中发现的测量情境效应。

1.介绍 ¶

测量情境是指个体在某一特定场合需要评估的一组心理变量或属性。通过评估不同但可能部分重叠的变量子集，可以形成不同的情境。测量情境效应是指当对变量或属性的判断受到其所处的测量情境影响时所产生的现象。

2.测量情境效应的实证综述 ¶

问题顺序效应通常通过使用由成对表格（AB, BA）构成的两个情境来研究，这两个表格的区别在于评估属性的顺序不同。

Wang 和 Busemeyer (2016a) 研究了公众健康服务信息在“对自己”与“对他人”两个对象上的有效性判断：当先评估“自己”时，有效性评分更高；但如果先评估“他人”，这种差异就消失了。

Moore (2002) 界定了四种不同的问题顺序效应，这些效应是通过比较两个属性在第一位置（AB 表中的 A 与 BA 表中的 B 的差异）与第二位置（BA 表中的 A 与 AB 表中的 B 的差异）的边际分布差异来定义的：

对比效应（contrast effects）：当第二位置的差异大于第一位置时出现；

综合（或一致性）效应（synthesis/consistency effects）：当第二位置的差异小于第一位置时出现；

加性效应（additive effects）：当两个边际分布在第二位置都增加时出现；

减性效应（subtractive effects）：当两个边际分布在第二位置都减少时出现。

边际不变性的违背通常通过两种情境来研究：一种是单变量情境 A，即单独测量属性 A；另一种是双变量情境 BA，即先测量属性 B，再测量属性 A。这些实验也被称为全概率定律的检验，或称为干涉效应的检验。当从 BA 表得到的 A 的边际概率与单独测量 A 的表不同，就称为发生了全概率定律的违背。

Aerts、Gabora 和 Sozzo（2013），以及 Bruza、Kitto 等人（2015）使用由四个二元变量两两组成的四个 2×2 表，检验了四元联合分布所要求的 CHSH 不等式。Asano、Hashimoto、Khrennikov、Ohya 和 Tanaka（2014），以及 Atmanspacher 和 Filk（2010）使用由三个二元变量两两组成的三个 2×2 表，检验了三元联合分布所要求的时间 Bell 不等式。

3.判断和决策的量子模型 ¶

经典概率论建立在这样一个前提之上：事件被表示为一个更大集合（称为“样本空间”）的子集。以“子集”作为描述事件的基本单位，意味着它遵循一种逻辑——子集逻辑，而这种逻辑等价于布尔逻辑（更一般地说，是事件的 σ-代数）。布尔逻辑包含一些严格的规律，例如：闭包性（如果 A 和 B 是同一样本空间中的事件，那么 A∩B 也是一个事件）；交换律（A∩B = B∩A）；以及分配律（A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)）。

量子理论建立在这样的前提之上：事件被表示为一个向量空间（称为希尔伯特空间）的子空间（subspace）。以子空间为基础来描述事件意味着它遵循一种新的逻辑——子空间逻辑。这种逻辑放松了布尔逻辑中的一些公理。特别是，它并不要求事件总是满足交换律和分配律，闭包性也不总是成立。

我们所比较的，是经典概率模型与量子概率模型对已观测（认识层面的，epistemic）现象的解释，而不是经典物理模型与量子物理模型对未观测（本体层面的，ontological）世界的比较。

对认识性测量的依赖对于人类判断尤为相关，这或许正是为什么人类判断经常被发现具有“情境依赖性”（contextual）。在存在情境效应时，经典概率论需要为每一个情境单独建立一个概率空间，而却没有一个简单的方法将它们联系起来；而量子概率论则提供了一种优雅的方法，可以把不同的情境整合进一个统一且连贯的概率模型中。

量子理论中的一些原理实际上与深层的心理学观念相呼应：

1.量子中神秘的叠加原理（superposition）：它很好地刻画了人们在冲突、模糊或不确定时的直观感受。在决策尚未做出之前，个体处于一种“潜在选择的叠加状态”；而一旦必须做出决定，这个状态就会“坍缩”到某一个具体选择上。这种从叠加状态转变为具体决策的行为，与玻尔在量子力学中提出的波粒二象性有相似之处。

2.互补性原理（complementarity）：对一个系统的测量并不是单纯地记录它已有的性质，而是在某种意义上“构建”了该性质。第一个问题会建立一个情境，从而改变后续问题的答案；因此，回答一个问题会干扰到之后问题的回答，问题的顺序也就变得重要。在量子物理中，这种顺序依赖的测量被称为非交换性（noncommutativity），而量子理论正是为处理这种非交换性测量而设计的。

3.纠缠（entanglement）：例如，事件 A B 可能被观测到，事件 C D 也可能被观测到，但联合事件 A B C D 却可能根本不存在，从而违反了“封闭性（closure）”原则。纠缠态为解释由**非经典相关模式所产生的联合概率分布违背现象提供了基础。

4.多维希尔伯特空间理论 ¶

4.1量子概率论基础知识 ¶

假设我们有 p 个心理变量 (Yi;i=1,…,p)，每个变量（如 Yi）在被测量时会产生一个有限集合中的 ni 个可能值之一。在经典理论中，变量 YiY_iYi 被称为随机变量；而在量子理论中，Yi被称为可观测量。当测量其中一个 ppp 个变量时，所产生的测量结果就是一个事件。

经典理论以一个包含所有事件的集合 HHH 为起点，这个集合被称为样本空间；而量子理论则用一个包含所有事件的向量空间 HHH 来替代，它被称为Hilbert 空间。在经典理论中，事件 A(Y1=yi) 被定义为样本空间的一个子集；而在量子理论中，事件 A(Y1=yi)被定义为 Hilbert 空间的一个子空间。

经典理论假设闭合性：如果 A(Y1=yi)是一个事件，而 B(Y2=yj)是另一个事件，那么 A∩B 也是样本空间中的一个事件。根据交集的定义，经典事件的交集是可交换的：A∩B=B∩A

在量子理论中，事件 A⊆H,B⊆H可能不可交换，如果它们不可交换，那么它们的合取（conjunction）并不存在，闭合性也就不成立。

在量子理论中，事件的序列（例如先发生 A，再发生 B，记作 AB）由投影算符的序列 PBPA 表示：

若投影算符可交换，即 PAPB=PBPA，则两个投影算符的乘积仍然是一个投影算符，即事件 A 和 B 是相容的；

若两个投影算符不可交换，即 PBPA≠PAPB，则它们的乘积不再是投影算符，此时事件 A和 B是不相容的。