论文信息 ¶

Busemeyer, J. R., & Wang, Z. (2018). Hilbert space multidimensional theory. Psychological review, 125(4), 572–591. https://doi.org/10.1037/rev0000106

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关键词 ¶

Hilbert 空间多维理论

摘要 ¶

希尔伯特空间多维（HSM）理论是一种关于测量情境效应的通用理论。测量情境指的是个体在特定场合下评估的一组心理变量。不同的情境通过评估不同但可能重叠的变量子集而形成。当跨情境的判断无法从所有观察变量值的一个单一联合概率分布中得出时，就会出现情境效应。HSM理论通过使用量子概率理论来建模这些情境效应，该理论将所有变量表示在一个低维向量空间中。HSM模型产生的参数估计为跨情境的复杂判断集合提供了简单且信息丰富的解释。我们报告了HSM模型与贝叶斯网络模型在新开展的大型实验中的拟合比较，证明了该新模型的可行性。我们得出结论，该理论广泛适用于社会科学和行为科学中发现的测量情境效应。

1.介绍 ¶

测量情境是指个体在某一特定场合需要评估的一组心理变量或属性。通过评估不同但可能部分重叠的变量子集，可以形成不同的情境。测量情境效应是指当对变量或属性的判断受到其所处的测量情境影响时所产生的现象。

2.测量情境效应的定义 ¶

假设我们正在研究四个心理变量 A、H、I 和 U 之间的关系。这些变量可以代表从大型社交媒体来源获得的关于政治候选人的吸引力、诚实性、智力和非同寻常性的判断（参见 Steinberg, 2001）；也可以是从大型医疗记录中获得的有关患者焦虑、多动、易怒和不守规矩症状的描述；或者是从大型消费者选择数据中获得的关于某种食品是否开胃、健康、有趣以及不熟悉的评论

在这种类型的研究中，可能会出现多种不同的情境效应。为了用一个简单（但人为构造）的例子说明其中的几种效应，请参考表 1。在这个例子中，每个判断的回答都是“是（Y）”或“否（N）”。测量顺序可能会产生影响，因此 AH（先呈现 A 再呈现 H）与 HA（先呈现 H 再呈现 A）是不同的情境。将单向表与二维表中的边际概率进行比较时，就会发现情境效应的存在。

例如：在单独询问 H 时，回答“是”的相对频率为 0.369；但当 H 与属性 A 一起被询问（情境为 AH）时，其回答“是”的边际概率为（0.345 + 0.125 = 0.470）。

通过四个二元随机变量（A、H、I、U）定义一个四向联合概率分布，该分布包含 16 个潜在的联合概率 (AwHxIyUz)(A_w H_x I_y U_z)(Aw Hx Iy Uz)。

测量情境效应可以通过以下基本问题更精确地定义：是否存在一个由四个二元变量组成的单一四向联合概率分布，可以重现表 1 中的数据？

用表 1 中的例子来说明四向联合分布模型所隐含的一些约束条件：

四向联合分布要求单个随机变量的边际分布在不同情境下保持不变。

提问顺序会改变某些属性对的二维分布。

顺序效应违背了四向联合概率模型所要求的交换性

边际不变性和交换性（无顺序效应）这两个条件，在四个情境 AI、AU、HI 和 HU 中都是成立的。

CHSH 检验结果与边际选择性和交换性的检验在逻辑上彼此独立——可能同时违反、都不违反或只违反其中之一。边际选择性可在不破坏交换性的情况下被破坏，但一旦出现非交换性（顺序效应），就必然会导致边际选择性被破坏。

希尔伯特空间多维模型（HSM）：基于量子力学中希尔伯特空间概念的数学建模框架，主要用于处理复杂系统中具有不确定性、叠加态或非经典关联的现象。

所有 HSM 模型都必须满足另一个不等式——Tsirelson 界。

当从不同情境中收集判断时，它们通常可以用一组列联表（contingency tables）或交叉分类表（cross-tabulation tables）来概括。假设有 p 个不同的变量 (Y1,…,Yp)，可以用来测量物体、事件或人。每个变量 Yj可以有 nj个不同取值（不必要求 nj=2）。并非总是可以同时测量所有 p 个变量，可能一次只能测量某个变量子集 Yk1,…,Yks（其中 1≤s≤p，且不必要求 s=2）。每一个变量子集构成一个测量情境 k。可以收集多个情境，形成 K个数据表 (T1,…,Tk,…,TK)，每个表是在不同的情境 k下收集的。每个表 Tk 都是基于该变量子集的联合相对频数表或列联表。

一般性的问题是：由 p 个变量形成的这 K 个表，能否从同一个 p维联合分布中推导出来？

可以用一个假设数据集（每个 2×2 表有 100 个独立观测值）来检验 4 路联合概率模型 是否与更一般的 饱和模型（无约束、可完美拟合数据）存在显著差异。

这种用于检验单个四元联合分布模型的非参数方法，可以推广并应用到 p 元联合分布 的情形。如果设计中只包含四个 2×2 的列联表（AI、AU、HI 和 HU），那么饱和模型只有 4 × 3 = 12 个参数，比四元联合分布模型的参数还少。

联合分布模型的非参数统计检验的优点在于，它可以通过一次检验同时测试该模型施加的所有约束条件（包括边际不变性、无顺序效应、CHSH 类型不等式等）。但是另一方面，它无法定位具体是哪个特性被违反。

用于检验 p 维联合分布是否能够解释由 p 个变量的子集形成的列联表集合的方法，并不能排除所有的贝叶斯模型。