量子认知中的测量模型

论文信息 ¶

Haven, E., & Khrennikov, A. (2017). A brief introduction to quantum formalism. In The Palgrave handbook of quantum models in social science: Applications and grand challenges (pp. 1-17). London: Palgrave Macmillan UK.

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关键词 ¶

量子认知

摘要 ¶

量子认知研究者面临的一个理论难题是：如何同时解释 A-A重复效应、问题顺序效应、QQ等式 以及 A-B-A重复效应。本文旨在提出一种可能更符合常规量子理论框架的替代性解释。

1.介绍 ¶

将量子测量理论应用于人类判断时产生的一个关键问题。具体而言，其核心矛盾在于：量子测量理论能否同时解释反应重复效应（response repetition）与问题顺序效应。

2.什么是回答重复和问题顺序效应 ¶

调查研究者设计问题时，常需评估受访者对某些观点或态度的倾向，例如以下两个关于保守派基督徒与自由派宗教偏好的问题： (A) 保守派基督徒在将自身宗教价值观强加于国家这一问题上是否做得太过分了 (B) 自由派在试图将宗教排除于学校和政府之外这一问题上是否做得太过分了

所谓A-A型反应重复效应，指的是这样一种预期：若在无其他信息干扰的情况下连续重复提问问题A，受访者会直接重复之前的答案。

问题顺序效应（question order effect）指的是问题顺序的改变对回答联合相对频率产生的影响。调查研究者对此效应高度警觉，通常采用以下方法进行检验：将不同的问题顺序分配给不同组别的受访者——其中半数受访者先回答问题A后立即回答问题B（A-B条件组），另一半则采用相反顺序（B-A条件组）。当两种顺序下答案对的联合分布出现显著差异时，即可确认问题顺序效应的存在。

问题顺序效应往往遵循QQ等式：

QQ = [ p(A=是, B=否) + p(A=否, B=是) ] − [ p(B=是, A=否) + p(B=否, A=是) ] = 0

A-B-A重复效应：首先提问问题A，接着提问问题B，最后重复提问问题A。其核心在于探究：受访者在回答关于B的中间问题后，是否会改变对重复问题A的答案。

量子测量难题的构成：

当同时满足以下三个观测结果时，就会产生一个量子测量理论层面的难题： （1）受试者在A-A实验设计中表现出答案重复性； （2）受试者在A-B与B-A对比设计中产生问题顺序效应； （3）受试者在A-B-A实验设计中仍能保持对问题A答案的重复性。

3.量子测量问题的先前解决方案 ¶

无论是使用投影算子（projectors），还是更广义的正算子值测量（POVM），都无法解决人类判断中的上述量子测量难题。其核心限制在于：

  1. POVM的局限性：虽然正算子值测量能描述更一般的量子测量，但无法满足A-A设计中答案可重复性效应的数学要求。
  2. 投影算子的两难困境：投影算子虽可满足A-A设计的可重复性要求；但为解释问题顺序效应，必须采用非对易投影算子，这种非对易性直接导致其无法满足A-B-A设计中的跨阶段答案重复性

4. System Plus 环境测量模型 ¶

采用一种基于系统加环境框架的较新方法：通过系统空间 HS 与环境空间 HE 的张量积空间 HS×E = HS ⊗ HE 构建而成。其中，系统空间代表所研究的认知系统，而环境空间则代表测量操作。

例如：我们有两位双主修（物理和心理学）的学生，Angela 和 Bob。Angela 是一位非常细致且一丝不苟的学生，而 Bob 则有点懒散。

在 Stern-Gerlach 实验中分别进行了三次与两次测量，说明了重复测量在量子理论中的必要性。Angela 遵循量子规则，每次都进行新的测量，而 Bob 则省略最后一次测量，直接重复之前的结果，导致结论错误。随后在心理学的 A-B-A 实验设计中，Angela 也会在最后重新评估自己的判断，而 Bob 同样只是重复初始回答。这种行为差异体现了两类测量操作：Angela 代表“实际再测量”，Bob 则代表“答案复用”。

对于 A-B-A 设计，我们需要考虑三次测量：首先测量 A（记录第一次回答），然后测量 B（记录第二次回答），最后再次测量 A（记录第三次回答）。为简化讨论，我们假设所有测量都是二元的，但这一基本思想可以轻松扩展到任意（但有限）的测量情形。

从一个表示认知系统的空间 HS开始，该空间由一组基S={∣Si⟩, i=1,…,N} 张成。环境则由一个空间 HE 表示，其基由 8 个基向量组成。0 表示“否”，1 表示“是”，用于表示三个二元的环境测量结果。

将 Angela 和 Bob 的认知系统的初始状态定义为：

∣ψ⟩=∣Si⟩⟨Si∣⋅∣ψ⟩=ψi∣Si⟩|

即，系统初始处于某个状态 ∣Si⟩上的投影，形成状态分量 ψi∣Si⟩。

定义算符 TA为作用于认知系统空间 HS上的投影算子，它将状态投影到问题 A 的“是”答案对应的子空间。然后定义

FA=I−TA

表示“否”答案对应的投影算子。

因此，初始认知状态可以表示为对问题 A 的“是”与“否”两个答案投影的叠加：

∣ψ⟩=(TA+FA)∣ψ⟩=TA∣ψ⟩+FA∣ψ⟩。

定义算符 TB作用于认知系统空间 HS 上，将状态投影到问题 B 的“是”答案对应的子空间。然后定义

FB=I−TB

表示“否”答案对应的投影算子。

因此，初始认知状态可以表示为对问题 B 的“是”答案和“否”答案对应基态的叠加：

∣ψ⟩=(TB+FB)∣ψ⟩=TB∣ψ⟩+FB∣ψ⟩。

控制 U 门 CUA对第一个问题 A 的作用是根据认知状态在问题 A 上的投影来操作的。该变换是幺正的，因为它将一个正交归一基线性映射到另一个基。

控制 U 门 CUB用于第二个问题 B 的测量，其作用依赖于认知状态在问题 B 上的投影。该变换同样是幺正的，因为它将一个正交归一基线性映射到另一个基。

当先问问题 A 再问问题 B 时，所施加的控制 U 门是两者的乘积。

测量所用的投影算符是在系统加环境的复合空间上定义的。对于第一个问题，回答“否”与“是”对应的测量投影算符分别为：

回答“否”的投影算符：AF=I⊗∣E0⟩⟨E0∣⊗I⊗I

回答“是”的投影算符：AT=I⊗∣E1⟩⟨E1∣⊗I⊗I

其中，I是对认知系统空间以及其他两个环境子空间的恒等算符，投影算符仅作用于环境中第一对量子比特，用以读取第一个问题的测量结果。

对于第二个问题，回答“否”与“是”所对应的测量投影算符分别为：

回答“否”的投影算符：BF=I⊗I⊗∣∣E0′⟩⟨E0′∣∣⊗I

回答“是”的投影算符：BT=I⊗I⊗∣∣E1′⟩⟨E1′∣∣⊗I

对于第三个问题（即对问题 A 的再次测量），其“否”与“是”的测量投影算符分别为：

回答“否”的投影算符：AF′=I⊗I⊗I⊗∣∣E0′′⟩⟨E0′′∣∣

回答“是”的投影算符：AT′=I⊗I⊗I⊗∣∣E1′′⟩⟨E1′′∣∣

如果我们先测量问题 A，然后测量问题 B，那么就需要先对初始状态依次施加控制门 CUAC_{U_A}CUA 和 CUBC_{U_B}CUB，并计算对应测量结果的概率。

假设前两个问题的回答是 A = 是，B = 否，那么在给定这两个回答的条件下，系统的状态为：∣ζA=1, B=0⟩=1p(A=是,B=否)(FBTA∣ψ⟩)⊗∣E1⟩⊗∣∣E0′⟩⊗∣∣E′′+⟩

Angela：使用的是量子控制门 CUA′，其作用会将原始状态根据不同投影（是/否）分配到不同的量子状态中，因此她不一定重复先前对 A 的回答。

Bob：使用的是另一个控制门 CUA′′，它直接将他之前的回答复制到最后的输出中，因此他会始终重复他对 A 的第一次回答。

Angela 的回答具有量子不确定性和上下文依赖性，可能改变；Bob 的回答是确定性的，直接复述先前的答案。

5.总结 ¶

本章提出了一种替代的量子测量模型构建方式，该模型能够同时解释 A-A 重复效应、问题顺序效应、QQ 等式 以及 A-B-A 重复效应。目前只知道有一项对 A-B-A 重复效应 的实证研究，而这项研究实际上发现，人们并不总是重复自己的回答。此外，改变答案的倾向在不同的问题对之间差异很大。然而，该研究使用的是 0–100 分的评分量表，而非二元选择，以提高测量对意见变化的敏感度。进行 A-B-A 实验具有一定困难，因为重复提问对参与者而言可能显得奇怪。他们可能会怀疑这一重复是否暗含对其一致性或注意力的测试。