量子形式主义简介

论文信息 ¶

Haven, E., & Khrennikov, A. (2017). A brief introduction to quantum formalism. In The Palgrave handbook of quantum models in social science: Applications and grand challenges (pp. 1-17). London: Palgrave Macmillan UK.

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关键词 ¶

量子认知

摘要 ¶

将量子力学中核心的数学结构与概念，转化为可被社会科学领域（尤其是认知科学、决策理论和经济学）理解和运用的语言。整篇文章在保留数学严谨性的基础上，强调了“形式主义工具”在跨学科应用中的潜力，尤其是在人类判断与决策的建模中所可能引发的革命性突破。

1.介绍 ¶

本文将量子力学中核心的数学结构与概念，转化为可被社会科学领域（尤其是认知科学、决策理论和经济学）理解和运用的语言。整篇文章在保留数学严谨性的基础上，强调了“形式主义工具”在跨学科应用中的潜力，尤其是在人类判断与决策的建模中所可能引发的革命性突破。

2.状态和可观察对象 ¶

在量子力学中，系统的状态由希尔伯特空间中的向量（或密度算符）来表示，而“可观察量”（即可被测量的物理量）则由厄米算符表示。每个系统的状态可分为两类：

纯态（Pure States）：表示为单位向量或投影算符，反映出系统完全的确定性状态。

混合态（Mixed States）：由多个纯态以概率加权叠加而成，对应于概率性知识的不完全状态。

这些定义为后续量子概率、测量理论以及信息处理等概念奠定了数学基础。

3.量子概率 ¶

在量子形式主义中，系统的状态由密度算符表示，可观察量由厄米算符表示，后者可分解为其本征值与对应的投影算符之和。根据玻恩规则，测量得到某一特定值的概率由状态算符与投影算符的迹决定。若状态为纯态，则概率可简化为投影作用下向量模的平方。当连续测量两个可观察量 AA 与 BB 时，第一次测量后的状态需根据投影公设更新为新的密度算符，后续测量则基于该更新状态进行。再次应用玻恩规则，即可获得第二次测量结果的条件概率。这一过程构成量子概率中条件概率的定义方式，并可被视作经典贝叶斯定理在量子情境下的类比。这种框架在认知与决策建模中极具启发性，为描述状态更新与结果预测提供了严谨而动态的形式表达。

量子系统中的状态可以处于多个可能结果的叠加态，即系统在未被观察前，并不“处于”某一确定状态，而是处于多种可能性的共存状态之中。这与人类在作决策前往往保有多种未决备选方案的情形极其相似。

一旦测量发生，叠加态即“坍缩”到某一特定状态，体现为决策结果或判断输出。作者指出，这一过程在心理或社会系统中的比喻意义极大：决策就像量子测量，是对潜在信念状态的“询问”，而不是揭示一个本就存在的客观状态。

4. Heisenberg’s Uncertainty Principle ¶

量子力学的一个基本特点是可观察量之间往往不对易，即测量顺序会影响结果。这一点与经典逻辑（先验独立性）大相径庭。

海森堡不确定性原理指出，对某一对非对易可观察量（如位置与动量）的测量精度存在根本限制，在认知建模中，这可被引申为：人对某些问题的判断不可能在所有维度上都同时精确、稳定。

5. Dirac’s Notation ¶

狄拉克符号（Dirac’s notation）在量子信息理论中被广泛使用。希尔伯特空间 H 中的向量被称为ket 向量，记作 ∣ψ⟩。

与此对应的对偶空间 H0 是作用在 H 上的线性连续泛函的集合，其元素称为bra 向量，记作 ⟨ϕ∣。

一个由厄米算符 A 表示的可观察量，其谱（特征值集合）非简并（即每个特征值对应唯一的特征向量），并将讨论限制在有限维的希尔伯特空间 H中。在这种情况下，A 的归一化特征向量 ei构成了 H 的一组正交归一基。

6.量子信息论要素 ¶

量子比特（qubit）的状态通常借助具有特征值 0 和 1 的可观察量来表示。每个量子比特所在的状态空间是二维的。

随着量子比特数量 nnn 的增加，状态空间的维度呈指数增长。这就引出了一个自然的问题：如此高维的状态空间在物理上是否可实现？

尝试将量子形式主义应用于认知与决策建模时，也不得不面对同样的问题：高维认知状态空间是否只是形式上的构造，还是确有某种物理或心理机制支撑其实现？

7.孤立量子系统的状态动力学 ¶

在量子力学中，一个孤立系统的状态（如果是纯态）随时间的演化由薛定谔方程描述，演化过程是单位的（unitary），意味着它保留向量的模长，也就是说，系统始终保持在纯态中。

对于更一般的密度矩阵（混合态），其演化遵循冯·诺伊曼方程，可理解为薛定谔方程在密度矩阵空间的对应形式。

在将该动力学形式应用到认知科学或社会决策建模时，普朗克常数 ℏ 并不一定适用，因此可以引入一个通用的缩放因子 η\，以适配非物理系统的时间尺度和能量概念。

8.正算符值测度 ¶

POVM：对传统量子测量理论的推广形式，常用于更复杂、现实或非理想测量的建模。

正算符值测度（POVM, Positive Operator Valued Measure）是对标准投影测量（即以正交投影算符表示的测量）的推广。在 POVM 框架中，测量不再由投影算符组成，而是由一组正的厄米算符 {Mj} 构成。

POVM 在建模实际物理测量（如含噪声的探测器）中非常重要；在认知建模、量子决策理论、量子通信等领域也广泛使用，能有效处理模糊、重叠、非正交选项等情形；其灵活性与广义性使其成为标准投影测量理论的有力补充。

POVM 是一个允许“非理想测量”与“概率性模糊事件”的量子测量框架，拓宽了我们在物理、认知与社会系统中建模测量行为的能力。

9.量子逻辑 ¶

根据冯·诺伊曼（1955）及伯克霍夫与冯·诺伊曼（1936）的研究，量子逻辑中事件表示为复希尔伯特空间 ( H ) 的正交投影算子。投影算子 ( P ) 的像定义为 ( HP = P(H) )，子空间 ( L ) 对应投影算子 ( P_L )。正交投影算子集合构成格，序结构为 ( P \leq Q ) 当 ( HP \subseteq HQ )。格运算包括“与”（(\wedge)，交集）、“或”（(\vee)，最小线性子空间包含并集）及“非”（正交补）。量子逻辑中，“与”运算等同集合交集，但“或”与“非”运算为集合运算的非平凡变形，可能导致偏离经典布尔逻辑。例如，在二维希尔伯特空间中，设基 ( (e_1, e_2) )，向量 ( v = (e_1 + e_2)/\sqrt{2} )，则 ( P_v \wedge P_{e_1} = 0 )，( P_v \wedge P_{e_2} = 0 )，但 ( P_v \wedge (P_{e_1} \vee P_{e_2}) = P_v )，表明分配律 ( P \wedge (P_1 \vee P_2) \neq (P \wedge P_1) \vee (P \wedge P_2) ) 不成立。即使 ( P_1, P_2 ) 正交，布尔逻辑仍失效。这种投影算子表示看似奇特，但仅因经典概率论（柯尔莫哥洛夫，1933）偏好集合论表示的传统使然。详见 Beltrametti 和 Cassinelli（1979）。