量子逻辑

文献：Hughes, R. I. G. (1981). Quantum logic. Scientific American, 245(4), 202-213.

原文

量子理论打破了经典的推理模式。使用“格”来为单词 and 和 or 的替代作用建模，可能更符合世界。

  • 经典逻辑推理

推理有效性只取决于逻辑规则，特别是“和/或”这种连词的结构形式。

  • 量子理论

电子有一个固有角动量或自旋。 自旋是量子化的：总是发现它沿测量它的任何方向假设只有两个值之一，向上或向下。自旋不能同时沿2个空间轴，即如果一个电子在x轴向上，那就不可能在y轴自旋。

图1

each electron in the prepared beam that its spin along the xaxis is up and that its spin along the y axis is either up or down. = either that the spin along the x axis is up and the spin along the y axis is up or that the spin along the x axis is up and the spin along the y axis is down.

这个断言违反了量子力学的陈述：不能同时在2个空间轴。 所以经典逻辑中至少一个规则不能在量子现象中应用。

  • 逻辑分配率

From Pand(Q or R)

one infers(P and Q) or(P and R).

另一个逻辑分配律： and 和 or 是互换的。与算术分配定律非常相似，例如， 2 x (3 + 4) 等于 (2 x 3) + (2 x 4)。

经典逻辑中的这种形式，在量子理念中从第一步到第二步是不被允许的。关于量子力学可能要求修改逻辑定律的建议等于建议必须改变连接词 and 和 or 的作用，以便关于量子力学的陈述不再在逻辑上结合以满足分配定律。

  • 格

一种数学结构，既包含量子力学所要求的分配律变化又保留经典理论中的分配律。

join：给定网络中的任意两点a 和 b 都由从其中至少一个向上移动的线连接到的点阵中的最低点称为 a-join-b。如果 a 和 b 都直接连接到同一个较高点，则该点是 a-join-b。如果 a 和 b 相互连接，则 a-join-b 是两个点中较高的一个。对于表示圆盘区域的lattice，两个区域的连接点是表示包含这两个区域的最小区域的点；在集合论中，相同的概念称为并集。

meet：通过选择 a 和 b 通过从其中至少一个向下移动的线连接到的最高点来定义；这样的点称为a-meet-b。在圆盘上，两个区域的交汇处是它们共有的最大区域；在集合论中，它被称为交集。

图2

  • 用格表示句子的逻辑关系。

如果句子 A 和 B 由点阵中的点 a 和 b 表示，那么句子 A 和 B 以及 A 或 B 分别由点 a-meet-b 和 a-join b 表示。连接格子中较低点和较高点的线代表了蕴涵的逻辑关系。

  • 不确定性

不能以不受限制的精度同时知道表征粒子状态的特定变量对的值。粒子自旋的 x 和 y 分量形成这样一对：它们被称为不相容的。这里给出了自旋 (a) 的 x 和 y 分量的自旋向上和自旋向下概率幅度。自旋状态向量（灰色箭头）可以被视为两个 x 分量幅度（黑色箭头）或两个 y 分量幅度（彩色箭头）的向量和。 图只是一个近似值；自旋状态的完整表示必须包括 z 分量，并且只能在其点表示复数的空间中绘制。随着矢量从 y 自旋轴旋转到 x 自旋轴，发现自旋的 x 分量向上的概率增加，但 y 分量的任何测量结果变得更加不确定。通过想象自旋状态向量继续逆时针旋转，可以构建与两个自旋分量相关的不确定性图（b）。 当一个分量值的不确定度降至零，另一分量值的不确定度最大。

图3

对于电子自旋的例子，在y轴自旋向上/向下的概率分别从0-1，2者相加等于1。根据不确定性原理，不存在可以将概率 1分配给 x 分量的某个值和 y 分量的某个值的自旋状态。

  • 向量空间

在空间中添加任意两个向量会生成位于同一空间中的第三个向量。将任何向量乘以一个标量（只有一个幅度，没有方向）也会在空间中产生另一个向量。用数学术语来说，向量空间在向量加法和标量乘法下是封闭的。

可以使用闭合准则来构造向量空间。

格的逻辑蕴含是子空间包含的问题。

关键区分： join 不是集合理论中的并集，是两个子空间的跨度（span）。

图4

假设点阵包括代表四条线 s、t、u 和 v 的点；所有的线都位于 u-v 平面上，并且都通过原点。那么 s-join-t 和 u-join-v 都用格中的同一个点表示，即对应于 u-v 平面的点。点 s-meet-(u-join-v) 定义为 s 和 u-join-v 共有的最大子空间；由于 u-join-v 是 u-v 平面，而 s 位于平面内，因此它们共有的最大子空间是线 s 本身。另一方面，s-meet-u 和 s-meet-v 都只包括原点，或点阵上的点 0，以及这些表达式的连接或跨度——即 (s-meet-u)—join-(s meet-v)，也是点O。由此可知点s-meet-(u-join v)和点(s-meet-u)-join-(s-meet-v ) 在向量子空间的格中不相同。

和格一致的逻辑结构不是分配的，格表明 (s-meet-u)-join-(s-meet v) 需要 s-meet-(u-join-v) 但反之则不然。

量子逻辑的独特之处在于它完全处理陈述某个向量位于某个子空间中的句子。量子逻辑的独特是逻辑相关的任何句子必须满足的两个要求的结果。

  1. 这些句子必须将量子力学特性归因于单个系统。

  2. 当2个类似的句子通过 and / or 连接，得到的句子仍然是物理系统的描述。

在处理这样的句子时，他们的逻辑关系不是经典逻辑的。

  • 经典逻辑和量子逻辑

经典逻辑在一些地方的不适用/不符合，不代表都应该被量子逻辑取代。量子逻辑的数学结构也是基于经典逻辑的演绎推理，经典逻辑在量子逻辑的发展之中。