比较if和all的含义

文献：Cruz, N., & Oberauer, K. (2014). Comparing the meanings of “if” and “all.” Memory and Cognition, 42(8), 1345–1356. https://doi.org/10.3758/s13421-014-0442-x

原文

”if an animal is a dog, then it barks.“是不是指“all dogs bark”？看着很接近，实际关系是？

本文目的是调查人们是否以相同的方式理解带有“if”和“all”的平行陈述。

  • 1.1 真值函数 truth-functional

在经典逻辑中，当指一组元素的时候，if=all。∀x(Dx → Bx)：“for all variables x it holds that if x is a dog (D), then x barks (B).”

对于经典逻辑，要么真要么假，没有中间情况。truth-functional -> 实质条件句 -> 真值表。

心理理论，3个模型和实质条件句解释中为真的情况相同，只有3个情况，因为只表征为真的情况。

  • 1.2 条件概率

日常条件句不是真值函数，人们对条件句的判断，基于主观条件概率。P(if p then q) = P(q|p)

已有研究在给了明显频率信息的情况下，大部分被试的反应符合P(q|p)，小部分符合conjunction “p and q”。在重复实验中，使用conjunction “p and q”的人会转向使用P(q|p)。这种推断，会随年龄增长而更倾向于P(q|p)。

表1

  • Ramsey test：人们计算条件概率的方法

人们假设 p 是这种情况，对他们的信念进行任何必要的改变以保持一致性，然后在这个假设的基础上估计 q 的概率。（日常生活是这种推理？先看p 为真的可能性，再看q。 ）

Ramsey 检验的结果与 p 实际上是否为真无关，所以它不仅可以用在指示性条件句的上下文中（前提条件可以是真或假），也可以用在反事实的上下文中（反事实，其已知先行词是假的，它表达了如果先行词为真会发生的情况）

根据条件事件对条件句进行概率解释的越来越多的证据提出了这样一个问题：“p 的所有元素都具有特征 q”形式的普遍量化陈述是否也是概率的和非真函数的，以及它们是否也可以通过方程来描述，在这种情况下适应状态 P(“所有 p 都是 q”) = P(q|p)。

  • 心理模型理论支持“all”的实质条件句解释，因为为普遍量化陈述提出的初始和充实模型与实质条件的模型完全一致。不同之处在于，对于量化的陈述，每个模型可以多次表示以指示集合的多个实例，并且可以在模型中添加“心理脚注”以指示模型的元素已经详尽表征。

  • 概率框架中，“all”的解释，就像“if”的解释一样，被假设与条件概率 P(q|p) 相关。但，对“all”的认可并不假定是该条件概率的直接函数。也就是说，不假设等式 P(if p then q) = P(q|p) 适用于“all”。相反，建议当 P(q|p) = 1 时认可“所有 p 都是 q”的陈述，并在该概率低于 1 时拒绝这种假设。

方程 P(“if p then q”) = P(q|p) 的经验支持主要来自singular条件句，本文针对一般条件句进行研究，预测一般条件句也支持方程 P(“if p then q”) = P(q|p)，条件概率不受样本量影响。

陈述性描述的2种解释：1.实例中心：和if一致，不受样本量大小影响。2. 集合中心：当且仅当集合 p 中的每个元素都是集合 q 的元素时，所有 p 都是 q”为真。受样本量大小影响。预测当陈述表达了适用于无限数量元素的合法关系时（例如，“所有松鼠都吃开心果”），将出现对“所有 p 都是 q”的以实例为中心的解释。当集合中的元素具有一般的、合法的关系时，这种关系可以预期在来自该集合的随机样本中表达为 p （即 q ）的恒定比例，而与样本的大小无关。

预测，当 p 和 q 之间的关系表示巧合时，人们对样本“所有 p 都是 q”的概率的估计会随着样本量的增加而降低，但当它表示一般规律时则不会。

概率真值表任务（probabilistic truth-table task）：根据每个真值表案例的频率的明确信息评估给定陈述的概率。随机样本中陈述为真的概率。

变量：2种句子类型（if vs all) * 5种样本大小（1, 20, 40, 60, 80）* 2种相关类型（一般规律 VS 巧合） * 2种P(q|p)的大小（0.96 VS 0.76）。样本量大小不在连续的试次中重复，相关类型 block分布。

例子：

One of the tree species of the botanical garden is the Birnei. There exist two genetic variants of Birnei: A and B. Further, Birnei are characterized by the fact that some have a plain white bark and others a bark with black lines. For each 100 elements of the species, the follow- ing general relation holds:

  • 48 are of variant A and have a bark with black lines

  • 2 are of variant A and have a plain white bark

  • 25 are of variant B and have a bark with black lines

  • 25 are of variant B and have a plain white bark

Two visitors of the botanical garden meet at the Café and talk about what they have seen. One of them says he went past the Birnei and randomly made photos of 60 of them. The other comments (without having seen the photos): “All the Birnei that are from A have a bark with black lines”

For the 60 Birnei in the photos, how probable is it that this statement is true?

  • 指导语

实验前告诉被试他们的任务是假设故事中提供的信息是真实的，并推断接下来的陈述是真实的可能性。即使故事中的所有信息都是真实的，但这并不意味着它们都是相关的。告知，对于哪些信息和多少信息是相关的，没有单一的答案。实验者感兴趣的是与被试相关的内容。

  • 方差分析。样本大小分别进行了线性对比和二次对比。

线性对比：样本大小的主效应不显著。随着样本量的增加，概率估计值趋于减小。样本大小和句子类型的交互作用显著（p=0.045)：量化陈述的概率估计随着样本量的增加而下降的速率大于条件陈述。

二次对比：样本大小的主效应显著，随样本量增加，被试的概率估计先增加再减小。样本大小和句子类型的交互作用不显著。

P(q|p)主效应显著，当条件概率为 0.76 时，被试的概率估计值低于 0.96 时。

  • 对于量化陈述，概率估计随着样本量的增加而减少，但对于条件陈述则不然。分别进行方差分析。

条件句：样本大小的效应没有显着的线性对比。二次对比显著，反映随着样本量的增加，概率估计呈 U 形趋势。P(q|p)主效应显著。

量化陈述：样本量效应的线性对比是显着的，二次对比不显著。反映了随着样本量的增加概率估计的大致线性下降。P(q|p)主效应显著。

图1

对条件句的概率估计与以实例为中心的解释一致：估计随着 P(q|p) 的增加而增加，但没有随着样本量的增加而下降。相比之下，量化陈述的概率估计显示了以集合为中心的解释的特征：这些估计随着样本量的增加而减少，正如假设 P（“所有 p 都是 q”）随着样本中的异常增加。与预期相反，这两个陈述的解释差异与它们所表达的关系是否合法或巧合无关。最后，P(q|p) 为 0.96 时的概率估计值高于 0.76 时的概率估计值。这在以实例为中心和以集合为中心的解释中都是预期的，并表明被试从真值表频率中提取了条件概率信息，并在他们的判断中考虑了它。

严格的集合中心解释中，人们会期望概率估计随着样本量的增加呈指数下降，迅速接近零，尤其是当 P(q|p) 较低的时候。但实际下降幅度相对较小。可能是因为只有一小部分被试使用这种解释，或只有一小部分试次中使用。需要进一步解释个体之间和内部的差异。

使用不同的材料和稍微不同的设计进行实验2，提供的频率信息清楚地表明，样本中的声明总是存在例外情况。样本大小(1, 2, 3, 5, 10, 100, and an entire population of infinite size)；P(q|p)=0.9 / 0.6

图2

结果：条件概率的估计值与 P(q|p) 保持一致，与样本量无关，正如以实例为中心的解释所预期的那样。量化陈述句，概率估计随样本量的增加而下降，但远小于数学上的预期（指数）。

被试内不同的句子类型，样本大小：小样本 (3, 4, 5, or 6) 大样本 (30, 40, 50, or 60)；P(q|p)=0.9.

图3

结果：对2种句子，样本大小的影响都很小。在这两种陈述类型中，大多数估计值显示样本量没有影响，而当样本量大时，少数估计值较低。这些分布显示出双峰性的迹象，表明被试在“if”语句和“all”语句的以实例为中心和以集合为中心的解释之间切换。

但不能简单区分使用不同解释的被试，因为在某些试次中被试将样本大小纳入考虑。存在个体差异。

一般规则和偶然这2种相关类型没有差异可能是因为上下文描述太长，可以缩短，使二者区分更加明显。

“if”和“all”的心理含义并不等同。应用于集合的条件的解释是以实例为中心的，并且符合方程 P(“if p then q”) = P(q|p)。普遍量化的陈述至少有时会被解释为以集合为中心的方式，这样 P(“所有 p 都是 q”) 是没有单个 p 不是 q 的概率。人们的反应没有考虑以集合为中心的解释所暗示的概率和样本量之间的指数关系，这种观察可以反映以加法而不是乘法方式组合概率的趋势。没有证据表明声明的解释会受到其表达的关系是否合法或巧合的影响。

  1. 条件句即使是一般条件句，指向和表示的也是单一实例。条件句不表达集合的信息。

  2. 单数形式和复数形式，If a fruit is a lime, then it is sour，“If fruits are limes, then they are sour”